Le Paradoxe de Braess

Une ville, deux ponts, quatre mille conducteurs. On ouvre un raccourci gratuit entre les deux ponts et tout le monde arrive plus tard. Personne n'a mal joué : c'est exactement ça, le paradoxe.

Le réseau à l'heure de pointe

Les routes bleues sont larges : elles prennent 45 minutes, qu'il y ait dix voitures ou dix mille. Les routes étroites, elles, se bouchent — une voiture de plus, c'est une seconde de plus pour tout le monde. Ouvrez le raccourci et regardez le trafic se réorganiser tout seul.

Conducteurs 4000

Vous êtes au volant

Vous faites ce trajet tous les matins, comme 3999 autres personnes. Chacune choisit sa route seule, et ajuste le lendemain si elle a été déçue. Vous, vous décidez chaque matin — et vous décidez aussi si la ville construit le raccourci.

Le conseil municipal vous consulte : faut-il ouvrir la bretelle entre les deux ponts ? Elle est courte, gratuite, et le trajet y est instantané.

Jour 1 Temps moyen sur vos trajets : —

Choisissez votre route pour ce matin. Sans raccourci, les deux ponts se valent.

votre trajet moyenne de la ville

Le raccourci n'est pas toujours néfaste

La même bretelle, sur le même réseau, peut faire gagner du temps ou en faire perdre selon la quantité de trafic. Déplacez les curseurs pour trouver la frontière : c'est elle qui rend le paradoxe difficile à anticiper avant de construire.

Conducteurs 4000 Routes larges 45 min

sans raccourci avec raccourci

La même chose avec deux ressorts

Un poids pend au plafond par deux ressorts reliés bout à bout par une ficelle. Deux cordes de sécurité pendent mollement sur les côtés, sans rien porter. Coupez la ficelle qui tient tout — et le poids monte.

Charge sur chaque ressort: 100 % du poids
Allongement de chaque ressort: 60 unités
Hauteur du poids: niveau de départ

Bout à bout, chaque ressort porte le poids entier. Une fois la ficelle coupée, les deux cordes de sécurité se tendent et les ressorts se retrouvent côte à côte : chacun ne porte plus que la moitié, donc s'allonge deux fois moins. On a retiré une pièce et le système s'est amélioré — c'est le paradoxe de Braess, sans voitures.

Pourquoi personne ne peut s'en sortir seul

Le raccourci est un piège individuellement rationnel. Une route étroite ne peut jamais coûter plus de 40 minutes, puisqu'au pire les 4000 conducteurs s'y trouvent. Une route large en coûte 45, toujours. Chacun raisonne donc correctement : « quoi qu'il arrive, la route étroite est meilleure ». Tout le monde suit le même raisonnement juste, et tout le monde se retrouve à 80 minutes.

C'est un vrai équilibre, pas une erreur collective. Un conducteur qui déserterait l'embouteillage pour l'ancien trajet mettrait 85 minutes au lieu de 80 : il serait puni d'avoir voulu bien faire. Aucun individu ne peut améliorer son sort en changeant seul. C'est la définition d'un équilibre de Wardrop, et c'est ce qui rend la situation stable — donc durable.

Rien à voir avec la demande induite. Le nombre de conducteurs ne change pas d'un seul : 4000 avant, 4000 après. On n'a pas attiré du trafic supplémentaire, on a simplement déplacé le point d'équilibre vers un état que personne n'a choisi et dont personne ne peut sortir seul.

Ça arrive pour vrai. À Stuttgart en 1969, un nouveau tronçon censé fluidifier le centre n'a rien donné ; la circulation ne s'est débloquée qu'après sa fermeture. À New York, le jour de la Terre 1990, fermer la 42^e Rue a amélioré le débit au lieu de le paralyser. Séoul a démoli une autoroute surélevée à six voies en 2003 pour redécouvrir le ruisseau qui coulait dessous, et les temps de trajet ont baissé. En 2008, Youn, Gastner et Jeong ont cherché ces routes dans les réseaux réels de Boston, Londres et New York : ils en ont trouvé dans chaque ville.

L'égoïsme a un prix, et ce prix est borné. L'écart entre l'équilibre égoïste et l'optimum collectif s'appelle le prix de l'anarchie. Ici il vaut 80 / 65 ≈ 1,23. Roughgarden et Tardos ont démontré en 2002 que pour un réseau dont les temps de parcours sont des fonctions affines du trafic, ce prix ne dépasse jamais 4/3 : l'égoïsme coûte au maximum 33 % de temps en plus. Braess n'est donc pas une curiosité isolée, c'est le cas d'école d'un phénomène général et mesuré.