Changer de logiciel

Les Dés Non Transitifs

A bat B, B bat C, C bat A. Il n'y a pas de meilleur dé — seulement un dé qui bat le vôtre. Alors laissez toujours l'adversaire choisir en premier.

Le pari

Chacun prend un dé, on les lance, le plus gros chiffre gagne. Commencez en choisissant en premier — c'est la position qui semble avantageuse. Puis inversez l'ordre et regardez ce qui change.

Le cycle

Chaque flèche indique quel dé bat lequel, et avec quelle probabilité exacte — calculée sur les 36 combinaisons possibles, pas estimée. Suivez les flèches : elles reviennent à leur point de départ.

Toutes les confrontations

Probabilité que le dé de la ligne batte celui de la colonne. Chaque case dépasse 50 % ou reste en dessous — mais aucune ligne n'est gagnante partout.

Des milliers de lancers

La théorie dit 66,7 %. Lancez les dés des dizaines de milliers de fois et voyez la fréquence mesurée s'y coller. Le trait blanc marque la valeur exacte.

Aucune simulation lancée pour l'instant.

Et si on lançait deux dés chacun ?

Les cinq dés de James Grime forment eux aussi un cycle. Mais donnez à chaque joueur deux exemplaires de son dé, additionnez les résultats, et regardez les cinq flèches se retourner d'un coup. Rien n'a changé sauf le nombre de dés.

Le pourcentage est toujours celui du vainqueur, c'est-à-dire du dé vers lequel pointe le signe.

Pourquoi c'est contre-intuitif

« Meilleur que » n'est pas une relation transitive. Nous supposons sans y penser que si A bat B et que B bat C, alors A bat C. C'est vrai pour la taille, pour le poids, pour tout ce qui se range sur un axe. Mais « gagne plus souvent contre » n'est pas un classement : c'est un tournoi, et un tournoi peut tourner en rond. Le jeu pierre-feuille- ciseaux le fait avec des règles ; ces dés le font avec du hasard pur.
Choisir en second est un avantage décisif. Comme aucun dé n'est le meilleur, celui qui choisit en premier révèle sa position et donne à l'autre la réponse gagnante. C'est l'inverse de l'intuition des jeux ordinaires, où choisir en premier permet de prendre la meilleure pièce. Ici la meilleure pièce n'existe pas.
Une moyenne identique ne dit rien du vainqueur. Les quatre dés d'Efron ont tous une espérance de 8/3, soit environ 2,67. En moyenne ils se valent exactement. Ce qui décide du duel, ce n'est pas la moyenne mais la façon dont les valeurs s'imbriquent : le dé D marque peu souvent, mais quand il marque, c'est juste au-dessus de A.
Le nombre de dés change le vainqueur. Additionner deux dés modifie la forme de la distribution — elle se resserre autour de la moyenne — et cela suffit à renverser le cycle entier chez Grime. Une relation qui dépend du nombre d'épreuves n'est pas une hiérarchie, c'est un contexte. Warren Buffett a proposé ce pari à Bill Gates avec un jeu de dés de ce type ; Gates a demandé à examiner les dés, puis a exigé que Buffett choisisse en premier.
Ça déborde largement des dés. Le paradoxe de Condorcet est le même phénomène appliqué au vote : trois électeurs aux préférences parfaitement cohérentes peuvent produire une majorité qui préfère A à B, B à C et C à A. On le retrouve aussi en écologie chez certaines bactéries, où trois souches s'éliminent en cycle, et dans les compétitions sportives où l'équipe qui vous convient mal convient très bien à celle qui vous bat.
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